Definición: Un lugar geométrico es un conjunto de puntos que satisfacen determinadas propiedades:
Índice:
- Mediatriz de un segmento
- Bisectriz de un ángulo
- Circunferencia
- Circuncentro de un triángulo
- Baricentro de un triángulo
- Ortocentro de un triángulo
- Incentro de un triángulo
- Recta de Euler en un triángulo
Es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de ambos extremos. Dichos puntos, son los puntos de la recta perpendicular al segmento AB que pasa por el punto medio, I, de éstos
Fijado un ángulo, determinado por dos semirrectas con un origen común O, la bisectriz de dicho ángulo es el lugar geométrico de los puntos del plano que pasando por O equidistan de ambas rectas.
También podemos afirmar que es la recta que pasando por O divide al ángulo en dos partes iguales
Nota: Dadas dos rectas r y s secantes en un punto O; siempre podremos dibujar la bisectriz interior (Que corresponde al menor de los ángulos entre r y s) y las bisectriz exterior que corresponde al suplementario del ángulo anterior.
Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo C denominado centro. Dicha distancia es el radio
Es el punto de intersección de las mediatrices de cada uno de los lados del triángulo. Dicho punto es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo
Es el punto de intersección de las medianas de cada uno de los vértices del triángulo. Mediana de un vértice es la recta que pasapor dicho vértice y por el punto medio del lado opuesto.
Es el punto de intersección de las rectas alturas de cada uno de los vértices del triángulo. Altura de un vértice es la recta que pasa por dicho vértice y perpendicular al lado opuesto.
Es el punto de intersección de las bisectrices interiores de cada uno de los ángulos del triángulo. Bisectriz de un vértice del triángulo es la recta que pasa por dicho vértice y divide a dicho ángulo interior en dos partes iguales. (Es la bisectriz interior de las rectas que contienen dos lados del triángulo).
Es el centro de la circunferencia inscrita en dicho triángulo
Nota: Es interesante remarcar que el ortocentro, baricentro y circuncentro de cualquier triángulo están alineados. A dicha recta que los contiene se le denomina recta de Euler
Se denomina sección cónica (o simplemente cónica) a la intersección de un cono circular recto de dos hojas con un plano que no pasa por su vértice. Se clasifican en tres tipos: elipse, parábola e hipérbola
.
La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de las distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.
En el vínculo siguiente , la construimos utilizando la definición
ELIPSE
Ahora; vamos a dibujar una elipse de otra manera:
Dada una circunferencia c de centro A y un punto interior, C, a ella,
El lugar geométrico de los centros de las circunferencias que son tangentes a la circunferencia c y pasan por C es una elipse
La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya valor absoluto de la diferencia de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante y menor que la distancia entre los focos.
Tiene dos asíntotas (rectas cuyas distancias a la curva tienden a cero cuando la curva se aleja hacia el infinito). Las hipérbolas cuyas asíntotas son perpendiculares se llaman hipérbolas equiláteras.
En el vínculo siguiente , la construimos utilizando la definición a partir de los focos y de un punto de la hipérbola
La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco, y de una recta llamada directriz
Construcción de la parábola a partir de la definición
Caracol de Pascal en una cónica
| Se consideran una cónica c y un punto exterior B a ella Consideramos un punto A variable sobre la cónica c En él dibujamos su recta tangente, t, a la cónica Desde B trazamos una recta perpendicular (s) a dicha recta t Esta recta s corta a la recta t en un punto P El lugar geométrico de los puntos P obtenidos al hacer variar A a lo largo de la cónica es lo que aparece en rojoCararacol de Pascal circunferencia (Si el punto pertenece a la circunferencia se denomina cardiode) |
Cisoide en una circunferencia
Dibujamos una circunferencia c centrada en C y dibujamos uno de sus diámetros (puntos A y B)
Desde B trazamos una recta, t, perpendicular al eje AB
Ahora consideramos sobre la circunferencia c un punto arbitrario P
Desde A trazamos la recta, s, que pasa por A y por P
La recta s corta a la recta t en el punto J
Después con centro en J y radio la distancia(J,B) trazamos una circunferencia c'
Dicha circunferencia c' corta a la recta s en los puntos H1 y H2
La trayectoria que describen estos puntos H1 y H2 al variar el punto P sobre la circunferencia se denomina Cisoide de Nicomedes
Cisoide en una hipérbola
Dibujamos una hipérbola de focos F y F' centrada en O y que pase por un punto C
Los puntos A y B son los vértices del eje real
Desde B trazamos una recta, t, perpendicular al eje AB
Ahora consideramos sobre la hipérbola un punto arbitrario P
Desde A trazamos la recta, s, que pasa por A y por P
La recta s corta a la recta t en el punto J
Después con centro en J y radio la distancia(J,B) trazamos una circunferencia c
Dicha circunferencia c' corta a la recta s en los puntos H1 y H2
La trayectoria que describen estos puntos H1 y H2 al variar el punto P sobre la circunferencia la denomino Cisoide en una hipérbola
Cisoide en una elipse
Dibujamos una elipse de focos F y F' centrada en O y que pase por un punto C
Los puntos A y B son los vértices del eje mayor
Desde B trazamos una recta, t, perpendicular al eje AB
Ahora consideramos sobre la elipse un punto arbitrario P
Desde A trazamos la recta, s, que pasa por A y por P
La recta s corta a la recta t en el punto J
Después con centro en J y radio la distancia(J,B) trazamos una circunferencia c
Dicha circunferencia c' corta a la recta s en los puntos H1 y H2
La trayectoria que describen estos puntos H1 y H2 al variar el punto P sobre la circunferencia la denomino Cisoide en una elipse
Tipos de ángulos Descripción Ángulo agudo un ángulo de menos de 90° Ángulo recto un ángulo de 90° Ángulo obtuso un ángulo de más de 90° pero menos de 180° Ángulo llano un ángulo de 180° Ángulo reflejo o cóncavo un ángulo de más de 180°
TEOREMAS PARA ÁNGULOS INTERNOS Y EXTERNOS DE UN TRIÁNGULO
Teorema para ángulos internos de un triángulo: Los ángulos internos de todo triángulo suman 180°.
Teorema para ángulos externos de un triángulo: Un ángulo externo de un triángulo es igual a la suma de los ángulos internos no adyacentes.
Teoremas sobre rectas paralelas
TEOREMA 5.1
Si dos rectas se cortan por una transversal y un par de angulos correspondientes son congruentes, entonces las rectas son paralelas.
TEOREMA 5.2
Si dos rectas se cortan por una transversal y un par de angulos alternos interiores son congruentes, entonces las rectas son paralelas.
TEOREMA 5.3
Si dos rectas se cortan por una transversal y un par de angulos alternos exterioresson congruentes, entonces las rectas son paralelas.
TEOREMA 5.4
Si dos rectas se cortan por una transversal y un par de angulos interiores en el mismo lado de la transversal son suplementarios, entonces las rectas son paralelas.
TEOREMA 5.5
Dadas las rectas p, q y r, si p es paralela a q y q es paralela a r, entonces p es paralela a r.
TEOREMA 5.6
Si dos rectas paralelas se cortan por una transversal, entonces los angulos alternos interiores son congruentes.
TEOREMA 5.7
Si dos rectas paralelas se cortan por una transversal, entonces los angulos alternos exteriores son congruentes.
TEOREMA 5.8
Si dos rectas se cortan por una transversal, entonces los angulos correspondientes son congruentes.
TEOREMA 5.9
Si dos rectas paralelas se cortan por una transversal, entonces los angulos interiores del mismo lado de la transversal son suplementarios.
Suma y resta del sistema sexagesimal en las matemáticas
El sistema sexagesimal es un sistema de numeración en el que cada unidad se divide en 60 unidades de orden inferior, es decir, es su sistema de numeración en base 60. Se aplica en la actualidad a la medida del tiempo y a la de la amplitud de los ángulos.
1 h 60 min 60 s1º 60' 60
Operaciones en el sistema sexagesimal
Suma 1er paso Se colocan las horas debajo de las horas (o los grados debajo de los grados), los minutos debajo de los minutos y los segundos debajo de los segundos; y se suman.
2o paso Si los segundos suman más de 60, se divide dicho número entre 60; el resto serán los segundos y el cociente se añadirá a los minutos.
3er paso Se hace lo mismo para los minutos.
Resta 1er paso Se colocan las horas debajo de las horas (o los grados debajo de los grados), los minutos debajo de los minutos y los segundos debajo de los segundos.
2o paso Se restan los segundos. Caso de que no sea posible, convertimos un minuto del minuendo en 60 segundos y se lo sumamos a los segundos del minuendo. A continuación restamos los segundos.
3er paso Hacemos lo mismo con los minutos.
Teorema de Tales
Teorema primero
Si en un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtiene un triángulo que es semejante al triángulo dado.
Teorema segundo
Sea B un punto de la circunferencia de diámetro AC, distinto de A y de C. Entonces el triángulo ABC, es un triángulo rectángulo.
Tales de Mileto
Congruencia de triángulos |
Observa los siguientes triángulos:
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Al mirar los dos pares de triángulos se puede apreciar que en ambos los triágulos tienen entre si la misma forma y tamaño.
Cuando se cumplen estas dos condiciones se dice que los triángulos son congruentes; esta palabra (congruente) se simboliza o representa con el símbolo 
.
.
Definición:
 |
Se dice que un Δ ABC es congruente con otro Δ DEF si sus lados respectivos son iguales y sus ángulos respectivos también lo son.
Para expresar en lenguaje matemático que los dos triángulos de la izquierda son congruentes, se usa la siguiente simbología:
Al observar los triángulos de la figura puede apreciarse que tienen lados respectivamente congruentes, que son:
También tienen ángulos respectivamente congruentes:
Entonces es posible afirmar que .
.
Al revés: si dos o más triángulos son congruentes, sus lados y ángulos lo serán respectivamente, en el orden de las letras asignadas a sus vértices para nombrarlos, salvo que gráficamente se indique otra correspondencia.
Si, por ejemplo, tenemos Δ ABR Δ CDS, sus lados respectivamente congruentes serán:
Δ CDS, sus lados respectivamente congruentes serán:
Y los ángulos respectivamente congruentes serán:
TRIÁNGULOS SEMEJANTES
Dos triángulos son semejantes si cumplen alguna de las siguientes propiedades:
a) Todos sus lados son proporcionales
Vemos que los lados del ejemplo guardan la misma proporción:
Lado A / Lado A’ = 6 / 3 = 2Lado B / Lado B’ = 6,4 / 3,4 = 2Lado C / Lado C’ = 5 / 2,5 = 2
b) Tienen los tres ángulos iguales
Estos dos ángulos tienen los tres ángulos iguales.
c) Un ángulo igual y los dos lados que se inician en dicho vértice son proporcionales
Estos dos ángulos tienen el ángulo C igual (30º) y los dos lados que se inician en dicho vértice son proporcionales.
Lado A / Lado A’ = 8 / 4 = 2Lado B / Lado B’ = 9 / 4,5 = 2
d) Dos triángulos en posición de Tales son semejantes
Teorema de Pitágoras
El teorema de Pitágoras establece que en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa (el lado de mayor longitud del triángulo rectángulo) es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (los dos lados menores del triángulo, los que conforman el ángulo recto).
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Si un triángulo rectángulo tiene catetos de longitudes 
y 
, y la medida de la hipotenusa es 
, se establece que:
y , y la medida de la hipotenusa es , se establece que:(1)
De la ecuación () se deducen fácilmente 3 corolarios de aplicación práctica:
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